Tema 1 Aproximación numérica y errores

Polinomios de Taylor

Introducción

Las funciones más sencillas dentro de las matemáticas son las algebraicas o polinomios, por ello se han desarrollado métodos para aproximar cualquier función a través de dichas funciones. La serie de Taylor es una técnica que permite realizar dicha aproximación y ésta puede obtenerse a través de la siguiente expresión:

$$p(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k.$$

Esta última expresión recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado $n$ generado por $f(x)$ en el punto $a$ .

Para representarlo se establece la siguiente notación:

$$p(x)=T_n[f(x;a)],$$

Donde $T_n$ se denomina operador de Taylor y significa que $p(x)$ es el polinomio de Taylor de $n$ -ésimo grado de la función $f(x)$ en el entorno del punto $x=a$ .

Ejemplo

Problema: Obtenga los polinomios de Taylor de primer y tercer grado de la función $f(x)=\cos (x)$ , en el entorno del punto $x=\frac{\pi }{2}$ .

Solución: Primero tienen que obtenerse las derivadas de la función y evaluarlas en $x=\frac{\pi }{2}$ ; dicha información puede colocarse tabularmente como se muestra en la Tabla.

$n$	$f^{(n)}(x)$	$f^{(n)}(\frac{\pi }{2})$
$0$	$\cos x$	$\cos \frac{\pi }{2}=0$
$1$	$-\sin x$	$-\sin \frac{\pi }{2}=-1$
$2$	$-\cos x$	$-\cos \frac{\pi }{2}=0$
$3$	$\sin x$	$\sin \frac{\pi }{2}=1$

Por lo que ya pueden formarse los polinomios de Taylor solicitados. Para el de primer grado se obtiene lo siguiente:

$$T_1\left[f(x;\frac{\pi }{2})\right]=\sum _{k=0}^1\frac{f^{(k)}(\frac{\pi }{2})}{k!}{(x-\frac{\pi }{2})}^k,$$ $$T_1\left[f(x;\frac{\pi }{2})\right]=\frac{{\cancel{f^{(0)}(\frac{\pi }{2})}}^0}{0!}{(x-\frac{\pi }{2})}^0+\frac{f^{(1)}(\frac{\pi }{2})}{1!}{(x-\frac{\pi }{2})}^1=-(x-\frac{\pi }{2}),$$ $$\boxed{{\displaystyle T_1\left[f(x;\frac{\pi }{2})\right]=-x+\frac{\pi }{2}.}}$$

Realizando la expansión para el polinomio de tercer grado, se obtiene:

$$T_3\left[f(x;\frac{\pi }{2})\right]=\sum _{k=0}^3\frac{f^{(k)}(\frac{\pi }{2})}{k!}{(x-\frac{\pi }{2})}^k,$$ $$T_3\left[f(x;\frac{\pi }{2})\right]=T_1\left[f(x;\frac{\pi }{2})\right]+\frac{{\cancel{f^{(2)}(\frac{\pi }{2})}}^0}{2!}{(x-\frac{\pi }{2})}^2+\frac{f^{(3)}(\frac{\pi }{2})}{3!}{(x-\frac{\pi }{2})}^3,$$ $$T_3\left[f(x;\frac{\pi }{2})\right]=-x+\frac{\pi }{2}+\frac{1}{6}{(x-\frac{\pi }{2})}^3,$$ $$T_3\left[f(x;\frac{\pi }{2})\right]=-x+\frac{\pi }{2}+\frac{1}{6}(x^3-\frac{3\pi }{2}{x}^2+\frac{3{\pi }^2}{4}x-\frac{{\pi }^3}{8}),$$ $$\boxed{{\displaystyle T_3\left[f(x;\frac{\pi }{2})\right]=\frac{1}{6}{x}^3-\frac{\pi }{4}{x}^2+(\frac{{\pi }^2}{8}-1)x-\frac{{\pi }^3}{48}+\frac{\pi }{2}}}$$