Tema 1 Aproximación numérica y errores

Polinomios de Taylor

Introducción

Las funciones más sencillas dentro de las matemáticas son las algebraicas o polinomios, por ello se han desarrollado métodos para aproximar cualquier función a través de dichas funciones. La serie de Taylor es una técnica que permite realizar dicha aproximación y ésta puede obtenerse a través de la siguiente expresión:

p (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} (x - a)^{k} .

Esta última expresión recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado $n$ generado por $f (x)$ en el punto $a$ .

Para representarlo se establece la siguiente notación:

p (x) = T_{n} [f (x; a)],

Donde $T_{n}$ se denomina operador de Taylor y significa que $p (x)$ es el polinomio de Taylor de $n$ -ésimo grado de la función $f (x)$ en el entorno del punto $x = a$ .

Ejemplo

Problema: Obtenga los polinomios de Taylor de primer y tercer grado de la función $f (x) = \cos (x)$ , en el entorno del punto $x = \frac{π}{2}$ .

Solución: Primero tienen que obtenerse las derivadas de la función y evaluarlas en $x = \frac{π}{2}$ ; dicha información puede colocarse tabularmente como se muestra en la Tabla.

$n$	$f^{(n)} (x)$	$f^{(n)} (\frac{π}{2})$
$0$	$\cos x$	$\cos \frac{π}{2} = 0$
$1$	$- \sin x$	$- \sin \frac{π}{2} = - 1$
$2$	$- \cos x$	$- \cos \frac{π}{2} = 0$
$3$	$\sin x$	$\sin \frac{π}{2} = 1$

Por lo que ya pueden formarse los polinomios de Taylor solicitados. Para el de primer grado se obtiene lo siguiente:

T_{1} [f (x; \frac{π}{2})] = \sum_{k = 0}^{1} \frac{f^{(k)} (\frac{π}{2})}{k!} {(x - \frac{π}{2})}^{k},

T_{1} [f (x; \frac{π}{2})] = \frac{{f^{(0)} (\frac{π}{2})}^{0}}{0!} {(x - \frac{π}{2})}^{0} + \frac{f^{(1)} (\frac{π}{2})}{1!} {(x - \frac{π}{2})}^{1} = - (x - \frac{π}{2}),

T_{1} [f (x; \frac{π}{2})] = - x + \frac{π}{2} .

Realizando la expansión para el polinomio de tercer grado, se obtiene:

T_{3} [f (x; \frac{π}{2})] = \sum_{k = 0}^{3} \frac{f^{(k)} (\frac{π}{2})}{k!} {(x - \frac{π}{2})}^{k},

T_{3} [f (x; \frac{π}{2})] = T_{1} [f (x; \frac{π}{2})] + \frac{{f^{(2)} (\frac{π}{2})}^{0}}{2!} {(x - \frac{π}{2})}^{2} + \frac{f^{(3)} (\frac{π}{2})}{3!} {(x - \frac{π}{2})}^{3},

T_{3} [f (x; \frac{π}{2})] = - x + \frac{π}{2} + \frac{1}{6} {(x - \frac{π}{2})}^{3},

T_{3} [f (x; \frac{π}{2})] = - x + \frac{π}{2} + \frac{1}{6} (x^{3} - \frac{3 π}{2} x^{2} + \frac{3 π^{2}}{4} x - \frac{π^{3}}{8}),

T_{3} [f (x; \frac{π}{2})] = \frac{1}{6} x^{3} - \frac{π}{4} x^{2} + (\frac{π^{2}}{8} - 1) x - \frac{π^{3}}{48} + \frac{π}{2}