Tema 1 Aproximación numérica y errores

Tipos de errores y cálculo del error

Tipos de errores

Error inherente

En muchas ocasiones, los datos con los que se inician los cálculos contienen un cierto error, debido a que se han obtenido mediante la medida experimental de una determinada magnitud física.

Medición

Error de truncamiento

Existen muchos algoritmos que requieren la ejecución de un número infinito de instrucciones para hallar la solución exacta de un determinado problema. Puesto que es totalmente imposible realizar infinitas operaciones, el proceso debe truncarse. Al error por la finalización prematura de un proceso se le denomina error de truncamiento.

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n}

Error de redondeo

Cuando se almacena un número real en una computadora se puede cometer un error, y a éste se le llama de redondeo.

Trascendentes

Cálculo del error

Error absoluto

e_{a b s} = | V_{r e a l} - V_{a p r o x} |

Donde $V_{r e a l}$ es el valor real de la variable y $V_{a p r o x}$ es el valor aproximado de la misma.

Error relativo

e_{r} = \frac{e_{a b s}}{| V_{r e a l} |} = | \frac{V_{r e a l} - V_{a p r o x}}{V_{r e a l}} |

Error relativo porcentual

e_{p} = \frac{e_{a b s}}{| V_{r e a l} |} \times 100 % = | \frac{V_{r e a l} - V_{a p r o x}}{V_{r e a l}} | \times 100 %

Ejemplo

Problema: Calcule el error absoluto, relativo y porcentual cometido al aproximar el valor de $e$ , empleando cuatro términos de la serie:

e = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!}

Tome como valor verdadero $e$ redondeado a cinco cifras decimales, y aplique el mismo criterio para los resultados.

Solución:

El valor verdadero es $V_{r e a l} = 2.71828$ .

El valor aproximado es $V_{a p r o x} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} = 8 / 3 \approx 2.66667$

e_{a b s} = | V_{r e a l} - V_{a p r o x} | = | 2.71828 - 2.66667 | = 0.05161 .

e_{r} = \frac{e_{a b s}}{| V_{r e a l} |} = | \frac{V_{r e a l} - V_{a p r o x}}{V_{r e a l}} | = | \frac{2.71828 - 2.66667}{2.71828} | = 0.01899 .

e_{p} = \frac{e_{a b s}}{| V_{r e a l} |} \times 100 % = | \frac{V_{r e a l} - V_{a p r o x}}{V_{r e a l}} | \times 100 %

e_{p} = | \frac{2.71828 - 2.66667}{2.71828} | \times 100 % = 1.89863 % .