Motivación

Funciones sin antiderivada analítica

A diferencia de la derivación, existe una gran cantidad de integrales que no se pueden resolver analíticamente mediante funciones elementales. Por ejemplo:

\int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x, \int_{0}^{π} \sin (x^{2}) d x

Sin embargo, es posible obtener aproximaciones numéricas sumamente precisas para los valores de dichas integrales definidas.

Objetivo de la Integración Numérica

El objetivo de la integración numérica es aproximar el valor de la integral definida de una función de la cual solo se conocen sus puntos en forma tabulada. Se parte de que la función cuenta con un espaciamiento constante $h$ :

$x$	$y = f (x)$
$x_{0}$	$y_{0}$
$x_{1} = x_{0} + h$	$y_{1}$
$x_{2} = x_{0} + 2 h$	$y_{2}$
$⋮$	$⋮$
$x_{n} = x_{0} + n h$	$y_{n}$

Deducción de los esquemas de integración

Se asume que la función se puede aproximar por un polinomio de grado $j$ mediante la interpolación de Newton con diferencias hacia adelante:

f (x) \approx p_{j} (x) = y_{0} + (\begin{matrix} k \\ 1 \end{matrix}) Δ y_{0} + (\begin{matrix} k \\ 2 \end{matrix}) Δ^{2} y_{0} + \dots + (\begin{matrix} k \\ j \end{matrix}) Δ^{j} y_{0}

Integrando con respecto a $x$ en el intervalo $[x_{0}, x_{j}]$ :

\int_{x_{0}}^{x_{j}} p_{j} (x) d x = \int_{x_{0}}^{x_{j}} [y_{0} + \sum_{i = 1}^{j} (\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}) Δ^{i} y_{0}] d x

Dado que el polinomio depende explícitamente de $k$ , se realiza un cambio de variable utilizando la relación lineal de los nodos equiespaciados:

k = \frac{x - x_{0}}{h} ⟹ x = h k + x_{0} ⟹ d x = h d k

Modificando los límites de integración bajo este cambio de variable:

Si $x = x_{0} ⟹ k = 0$
Si $x = x_{j} ⟹ k = j$

Sustituyendo el diferencial y los nuevos límites, la integral se transforma en:

\int_{x_{0}}^{x_{j}} p_{j} (x) d x = h \int_{0}^{j} [y_{0} + k Δ y_{0} + \frac{k^{2} - k}{2} Δ^{2} y_{0} + \frac{k^{3} - 3 k^{2} + 2 k}{6} Δ^{3} y_{0} + \dots] d k

Realizando la integración término a término y evaluando de $0$ a $j$ , se obtiene la expresión general base:

\int_{x_{0}}^{x_{j}} p_{j} (x) d x = h [j y_{0} + \frac{j^{2}}{2} Δ y_{0} + (\frac{j^{3}}{6} - \frac{j^{2}}{4}) Δ^{2} y_{0} + (\frac{j^{4}}{24} - \frac{j^{3}}{6} + \frac{j^{2}}{6}) Δ^{3} y_{0} + \dots + \int_{0}^{j} (\begin{matrix} k \\ j \end{matrix}) Δ^{j} y_{0} d k]

Las diferencias hacia adelante se obtienen alternando los signos de los coeficientes binomiales (Triángulo de Pascal):

\begin{aligned} Δ y_{0} & = y_{1} - y_{0} \\ Δ^{2} y_{0} & = y_{2} - 2 y_{1} + y_{0} \\ Δ^{3} y_{0} & = y_{3} - 3 y_{2} + 3 y_{1} - y_{0} \end{aligned}

Integración Trapecial (Polinomio de grado 1)

Fórmula Trapecial Simple

Si se tienen únicamente dos puntos ( $j = 1$ ), los términos de diferencias de orden superior se anulan ( $Δ^{2} y_{0} = 0$ ). Evaluando la expresión general:

\int_{x_{0}}^{x_{1}} p_{1} (x) d x = h [y_{0} + \frac{1}{2} Δ y_{0}] = h [y_{0} + \frac{1}{2} (y_{1} - y_{0})]

\int_{x_{0}}^{x_{1}} f (x) d x \approx \frac{h}{2} [y_{0} + y_{1}]

Gráficamente, esta expresión equivale a aproximar el área bajo la curva mediante el área de un trapecio recto.

Fórmula Trapecial Compuesta

Cuando se dispone de $n + 1$ puntos, se puede aplicar la regla del trapecio en cada par de intervalos adyacentes y sumar las áreas parciales para cubrir el intervalo total $[x_{0}, x_{n}]$ :

\int_{x_{0}}^{x_{n}} f (x) d x = \int_{x_{0}}^{x_{1}} f (x) d x + \int_{x_{1}}^{x_{2}} f (x) d x + \dots + \int_{x_{n - 1}}^{x_{n}} f (x) d x

Sustituyendo la fórmula simple en cada término y agrupando los nodos intermedios:

\int_{x_{0}}^{x_{n}} p_{1} (x) d x = \frac{h}{2} [y_{0} + y_{1}] + \frac{h}{2} [y_{1} + y_{2}] + \dots + \frac{h}{2} [y_{n - 1} + y_{n}]

\int_{x_{0}}^{x_{n}} f (x) d x \approx \frac{h}{2} [y_{0} + y_{n} + 2 \sum_{i = 1}^{n - 1} y_{i}]

Regla de Simpson 1/3 (Polinomio de grado 2)

Regla de Simpson 1/3 Simple

Si se tienen tres puntos tabulados ( $j = 2$ ) y se trunca la aproximación en la segunda diferencia ( $Δ^{3} y_{0} = 0$ ), se sustituye $j = 2$ en la ecuación general:

\int_{x_{0}}^{x_{2}} p_{2} (x) d x = h [2 y_{0} + 2 (y_{1} - y_{0}) + \frac{1}{3} (y_{2} - 2 y_{1} + y_{0})]

Multiplicando y simplificando la fracción:

\int_{x_{0}}^{x_{2}} f (x) d x \approx \frac{h}{3} [y_{0} + 4 y_{1} + y_{2}]

Esta fórmula aproxima la geometría de la función original por medio de una parábola que pasa por los tres puntos.

Regla de Simpson 1/3 Compuesta

Para extender el método a lo largo de un intervalo grande subdividido, se aplica la regla simple de manera consecutiva cada tres puntos (es decir, tomando bloques de dos intervalos). Al realizar la suma algebraica de las aproximaciones:

\int_{x_{0}}^{x_{n}} p_{2} (x) d x = \frac{h}{3} [y_{0} + 4 y_{1} + y_{2}] + \frac{h}{3} [y_{2} + 4 y_{3} + y_{4}] + \dots + \frac{h}{3} [y_{n - 2} + 4 y_{n - 1} + y_{n}]

Simplificando los coeficientes repetidos se obtiene:

\int_{x_{0}}^{x_{n}} f (x) d x \approx \frac{h}{3} [y_{0} + y_{n} + 4 \sum_{i \in impares} y_{i} + 2 \sum_{i \in pares} y_{i}]

Restricción: Para poder emplear la fórmula de Simpson 1/3 compuesta es obligatorio que el número total de intervalos $n$ sea par (lo que equivale a tener un número impar de puntos tabulados).

Regla de Simpson 3/8 (Polinomio de grado 3)

Regla de Simpson 3/8 Simple

Si se disponen de cuatro puntos equiespaciados ( $j = 3$ ), se modela el segmento con un polinomio cúbico. Sustituyendo $j = 3$ y las expansiones de las diferencias finitas hasta la tercera etapa:

\int_{x_{0}}^{x_{3}} p_{3} (x) d x = h [3 y_{0} + \frac{9}{2} (y_{1} - y_{0}) + \frac{9}{4} (y_{2} - 2 y_{1} + y_{0}) + \frac{3}{8} (y_{3} - 3 y_{2} + 3 y_{1} - y_{0})]

Factorizando el término escalar $\frac{3 h}{8}$ :

\int_{x_{0}}^{x_{3}} f (x) d x \approx \frac{3 h}{8} [y_{0} + 3 y_{1} + 3 y_{2} + y_{3}]

Regla de Simpson 3/8 Compuesta

Si el dominio cuenta con múltiples subdivisiones y se acoplan bloques sucesivos de cuatro puntos (grupos de 3 intervalos), se suman los términos algebraicos parciales:

\int_{x_{0}}^{x_{n}} p_{3} (x) d x = \frac{3 h}{8} [y_{0} + 3 y_{1} + 3 y_{2} + y_{3}] + \frac{3 h}{8} [y_{3} + 3 y_{4} + 3 y_{5} + y_{6}] + \dots

Agrupando los coeficientes de las fronteras internas compartidas:

\int_{x_{0}}^{x_{n}} f (x) d x \approx \frac{3 h}{8} [y_{0} + y_{n} + 2 \sum_{i \in múlt. de 3} y_{i} + 3 \sum_{i \notin múlt. de 3} y_{i}]

Restricción: Para aplicar la fórmula de Simpson 3/8 compuesta es requisito indispensable que el número de subintervalos $n$ sea un múltiplo de 3.