Tema 1 Aproximación numérica y errores

Métodos Numéricos, Estabilidad y Convergencia

Métodos Numéricos

Son técnicas (algoritmos) mediante las cuales pueden formularse los problemas matemáticos de forma tal que estos puedan ser resueltos con operaciones aritméticas.

A pesar de que existe una amplia gama de métodos numéricos, todos tienen una característica en común: invariablemente involucran una gran cantidad de operaciones aritméticas tediosas. Con el desarrollo de computadoras digitales rápidas y eficientes, el rol de los métodos numéricos en la solución de problemas de ingeniería ha incrementado dramáticamente en años recientes.

Tipos de Métodos Numéricos

Métodos de aproximaciones sucesivas

Son aquellos que parten de una aproximación inicial $x_0$ a la solución $x$ de un problema, y mediante la aplicación reiterada de una o varias fórmulas de recurrencia proporcionan aproximaciones $x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n$ a la solución $x$ .

Por ejemplo: $e_k=e_{k-1}+\frac{1}{k!}$ , con $e_0=1$

Métodos de paso a paso

Son aquellos que parten de un valor inicial y se basan también en la aplicación de una fórmula de recurrencia; pero, a diferencia de los métodos de aproximaciones sucesiva, se utilizan para obtener aproximaciones a la solución de una sucesión de números en lugar de un solo valor.

Estabilidad

Es importante elegir métodos que produzcan resultados precisos (según las circunstancias) para una amplia variedad de problemas. Uno de los criterios que siempre se tratará de imponer sobre un algoritmo es que los cambios pequeños en los dates iniciales produzcan otros correspondientes en los resultados finales.

Un algoritmo que satisfaga esta propiedad es estable; en caso contrario, inestable. Algunos algoritmos sólo son estables para ciertas elecciones de datos iniciales; a estos se les llama condicionalmente estables.

Los dos casos que surgen con más frecuencia en la práctica se definen como sigue:

Suponga que se introduce un error de magnitud $e_0>0$ en cierta etapa de los cálculos y que se denota por $e_n$ la magnitud del error después de $n$ operaciones sucesivas. Si $e_n\approx Cn{e}_0$ , donde $C$ es una constante independiente de $n$ , entonces se dice que el crecimiento del error es lineal. Si $e_n\approx C^n{e}_0$ para alguna $C>1$ , entonces el crecimiento del error se denomina exponencial.

Convergencia

Se dice que una sucesión de números $x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n$ converge a un valor $x$ , si para todo $ϵ>0$ existe un entero $m$ , tal que para todo entero $n>m$ , se cumple que:

$$|x-x_n|<ϵ.$$

Para determinar la convergencia de un método de aproximaciones sucesivas, cuyos resultados son los números $x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n$ , no es posible aplicar la definición anterior, debido a que no se conoce de antemano el valor de $x$ .

Sin embargo, si el método converge, la última diferencia en valor absoluto de las dos últimas aproximaciones es menor que la diferencia en valor absoluto entre la penúltima y antepenúltima aproximaciones; es decir,

$$|x_n-x_{n-1}|<|x_{n-1}-x_{n-2}|.$$

Al cumplirse en los primeros valores de $n$ , puede esperarse que la convergencia continúe. Si un método es convergente, la diferencia en valor absoluto entre dos aproximaciones es mayor o igual que el error absoluto.

$$|x_n-x_{n-1}|\ge e_{abs}.$$